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オイラーの公式とは

学、特に複素解析におけるオイラーの公式(オイラーのこうしき、Euler's formula、オイラーの恒等式とも)とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式をいう。

物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [1][2]だと述べている。

そのうつくしさ

e(自然対数)、i(虚数単位)、π(円周率)、1(乗法の単位元)、0(加法の単位元)という数学上欠かすことのできない5つの数が、このような単純な形の式で表されているのがオイラーの等式の構造美の所以でしょう。

e・・・解析的な定数。
i・・・代数的な数。
π・・・幾何的な定数。
というように考えられますので、これらがクロスオーバーし、なおかつナンセンスではない所に美しさが発生します。

実はこの式はとんでもない意味を持った式なのだ。

実数の世界では他人と思われていた三角関数と指数関数が、実は虚数の世界を通じてつながっていた事実を暴いてくれたのだ。

どんなことに使われているのか

オイラーの公式を使うと,実数の微積分方程式を
虚数領域で考えることができます.虚数領域では微積分は
単純な四則演算に置き換えられるので,そのまま答えを出し
オイラーの公式でもう一度実数領域に戻してあげることで
簡単に方程式を解くことができます.

複素数、自然対数の底、複素指数関数、複素空間の円の方程式、三角関数、これらが一つに融合されたこの公式で、三角関数の加法定理、振動、波動、微分が、如何に単純になり、理解が容易になることでしょう。

単振動、正弦波の本質、波とは何なのか?

ということの理解を助けてくれるのです。

Z=|Z|(cosθ+i sinθ)をオイラーの公式を使いZ=|Z|eiθと表すと、めんどくさい三角関数の計算が指数関数の計算に変わるので計算が楽になる。

その理解

よくある証明
それでいろいろ探すと、
「cos(x) を テイラー展開すると ああなって」
「sin(x) を テイラー展開すると こうなって」
「cos(x) の テイラー展開 +
  i かける sin(x) の テイラー展開 が
    eix のテイラー展開と同じになる」

図でイメージする

この公式ははじめ、ロジャー・コーツ によって1714年に提出されたが、その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。

虚数と複素数を知る

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twcritiqueさん

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