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数学の至宝 分かりやすいオイラーの公式

Tベルによると、コンドルセはオイラーの死を「計算の中止」と表現した。それほどまでにオイラーはほぼその全生涯を通じて、凄まじいまでの計算を続け、数学の歴史上類例を見ないような途方もない生産力を発揮した。

更新日: 2016年05月31日

twcritiqueさん

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オイラーの公式とは

学、特に複素解析におけるオイラーの公式(オイラーのこうしき、Euler's formula、オイラーの恒等式とも)とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式をいう。

物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」だと述べている。

全邦が哭いたそのうつくしさ

実はこの式はとんでもない意味を持った式なのだ。

実数の世界では他人と思われていた三角関数と指数関数が、実は虚数の世界を通じてつながっていた事実を暴いてくれたのだ。

e・・・解析的な定数。
i・・・代数的な数。
π・・・幾何的な定数。
というように考えられますので、これらがクロスオーバーし、なおかつナンセンスではない所に美しさが発生します。

e(自然対数)、i(虚数単位)、π(円周率)、1(乗法の単位元)、0(加法の単位元)という数学上欠かすことのできない5つの数が、このような単純な形の式で表されているのがオイラーの等式の構造美の所以でしょう。

もともと,三角関数は幾何学的に定義された.それに対して,指数関数は解析的に定 義された.そして,虚数は方程式を解くために導入された.これら,勝手に定義されたも のが,こんな単純な式で関係づけられるのは驚きである.

どんなことに使えるか? 計算がラクになる

オイラーの公式を使うと,実数の微積分方程式を
虚数領域で考えることができます.

虚数領域では微積分は
単純な四則演算に置き換えられるので,そのまま答えを出し
オイラーの公式でもう一度実数領域に戻してあげることで
簡単に方程式を解くことができます.

複素数、自然対数の底、複素指数関数、複素空間の円の方程式、三角関数、これらが一つに融合されたこの公式で、三角関数の加法定理、振動、波動、微分が、如何に単純になり、理解が容易になることでしょう。

単振動、正弦波の本質、波とは何なのか?

ということの理解を助けてくれるのです。

Z=|Z|(cosθ+i sinθ)をオイラーの公式を使いZ=|Z|eiθと表すと、めんどくさい三角関数の計算が指数関数の計算に変わるので計算が楽になる。

関数 cos(at) のラプラス変換 ラプラス変換記号( cos(at) ) は、cos(at) に e-st かけてt=0から∞まで積分したもの、です。
式で書くとラプラス変換( cos(at) ) = ∫o∞ e-st cos(at) dtです。
  . . . 積分、見るからにめんどくさそうですよね。

こんなとき オイラーの公式
eix = cos(x) + i sin(x)
を使ってcos(at) を指数関数に直すと積分しやすくなります!

その理解

よくある証明
それでいろいろ探すと、
「cos(x) を テイラー展開すると ああなって」
「sin(x) を テイラー展開すると こうなって」
「cos(x) の テイラー展開 +
  i かける sin(x) の テイラー展開 が
    eix のテイラー展開と同じになる」

・オイラーの公式は、指数関数と三角関数が実質的に同じものであることを表している
・オイラーは指数関数と三角関数のテイラー展開の類似性から、オイラーの公式を見出した
・指数関数のテイラー展開の際にxを虚数を用いたとき三角関数(sin,cos)のテイラー展開の式が現れる

図でイメージする

これを可視化すると、下のようにソレノイド(ばね)グラフになる。

この公式を視覚化するとこのようになる。緑線は公式左辺の指数関数の虚数乗、青線は実数成分のコサイン波、赤線は虚数成分のサイン波を表わしている。
この公式が導かれたのは1748年のことだが、その後20世紀になってから現代物理学の大変革をもたらした量子力学の基礎方程式の解となる波動関数Ψとしてこの公式は物理学の理論の中に現れ、科学的に、そして哲学的にも意味深いものとなった。
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/9275a096b6bf54594d2a96dfa12f56e1

この公式ははじめ、ロジャー・コーツ によって1714年に提出されたが、その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。

虚数と複素数を知る

オイラーの公式とオイラーの等式

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