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ちょっと面白い数学の話。「モンティ・ホール問題」

数学が苦手な人でも考えられる問題。分かりやすく、解説します。皆さんもちょっと考えてみてくださいね。

更新日: 2017年10月12日

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この記事は私がまとめました

chikkisさん

●モンティ・ホール問題って?

「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。」

ちなみにプレイヤーが選んだドアが新車だった場合、モンティ(司会者)は残った2枚のヤギの扉のうちどちらかを開きます

ここでプレイヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレイヤーはドアを変更すべきだろうか?」

たったこれだけの問題。
変えたほうがいい?変えないほうがいい?変えても変えなくても同じ?

では、皆さん考えてみてください。

「変えるべき」か「変えないべき」か「変えても変えなくても同じ」か自分の意見が固まったら次へどうぞ。

●各立場の見解

多分、「変えないべき」と考える人はいないはず・・・
「変えないべき」と答える人はその理論上「変えても変えなくても同じ」だと思います。

なので、ここでは「変えるべき」派と「同じ」派にわけて説明します。

変えても変えなくても同じ派

3枚のうち、1枚が開かれた。残ったのは2枚のドア。どちらかに車、どちらかにヤギがいる。
よって答えは2分の1。
変えたところで2分の1は変わらない。
コイントスが表か裏を予想するのと同じこと。

変えるべき派

変えるべき。なぜなら「司会者が選ぶのは必ずハズレの扉だから」。

本来、最初に選んだ扉が当たる確率は3分の1。残りの扉2枚のうちどちらかが車の確率は3分の2。
しかし、司会者は必ず自分が選んだ扉以外の1枚のハズレを開いてくれる。
つまり残った1枚の扉に開かれたハズレの扉3分の1が上乗せされ、残った1枚の扉が当たる確率が3分の2となる。

では皆さんも、自分の意見を変えてもいいですよ。変えるべき・・・?変えないべき・・・?

さあ、どっちの意見が正しいのでしょうか・・・解説をします!

結論から申し上げましょう。

「変えるべき」です。

それは「変えるべき」派の考えとして上記で紹介した通りの理由です。

この問題の「キモ」!

この問題を読み解くキモはズバリ

「司会者は無条件でハズレを1枚教えてくれる」というところにあります。

本来の確率

扉ABCがあったとするなら、それぞれに車が入っている確率は
扉A・・・3分の1 
扉B・・・3分の1
扉C・・・3分の1

です。ここまでは皆さんご理解いただけますね?

では、扉Aを選んだとしましょう!

すると
扉Aに車がある確率・・・3分の1
扉Aに車が無い確率・・・3分の2
ですね。

扉Aに車が無い確率=扉Bまたは扉Cに車がある確率ですね。

よって扉Aに車がある確率・・・3分の1
扉Bまたは扉Cに車がある確率・・・3分の2
です。

ここまではよいでしょうか?

司会者は「必ずヤギを選ぶ」

では、扉Aを選んだのですから、扉Bまたは扉Cのうち、1枚ハズレをオープンしましょう!

仮に、扉Bが開かれたとします。

ここで、扉チェンジの機会を得るわけですね。

では、改めて整理してみましょう。

司会者がハズレの扉を開くことで何が起きる?

扉Aに車がある確率・・・3分の1
扉Bまたは扉Cに車がある確率・・・3分の2

でしたね。

そして先ほど扉Bはハズレと分かりました。

では


「扉Bまたは扉Cに車がある確率・・・3分の2」

この1文はどういう意味を持つでしょうか?

考えどころはここです。


「Bの確率は0。よってCが当たる確率は3分の2」

と解釈できるかどうかです。

分かりやすくまとめるとこういう感じです。

3分の2という確率が「一つの扉に収束される」イメージ

さて、ご理解いただけたでしょうか。

Aがあたる確率は3分の1。Cが当たる確率は3分の2。よって、「変えたほうがよい」

という結論になります。

納得できないかたは

「司会者は一つのハズレを無条件で教えてくれる」という点に着目して考えてみてください。

ちなみにこの状況を実験した結果、「3分の2」に限りなく近い結果が得られています。

分からない人は10個の玉で考えてみましょう

どうしても納得できない方へ。

ここに10個の玉があります。
1つだけ「あたり」です

〇 〇 〇 〇 〇
〇 〇 〇 〇 〇

Z字型に1~10番としておきましょうか。

さてあなたは「1番」を選びました。

では司会者が残った9つのうち1つを残してはずれを黒くしていきました。

〇 ● ● ● ●

● 〇 ● ● ●

さて、あなたは1番から7番に変えますか?そのままにしますか?



・・・・・・・・・・・・・


「無条件ではずれを消す」というのはこういうことです。

この時7番の当たる確率は10分の9 ですね。

(2~10のうちどれかに当たりがある確率が10分の9、無条件ではずれを消してくれるので7に10分の9が収束されるイメージ)

これが3枚の扉でも同じことが起きているということです。

論理と確率のズレ

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