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0の0乗は「定義不能」じゃない!

大学数学の奥深さ。多数派が間違ってることだってある。

更新日: 2015年03月10日

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satourenさん

ネットで度々話題に

そもそも0乗って何?

2の3乗は2を3回掛ける(2×2×2)こと。
2の2乗は2を2回掛ける(2×2)こと。
2の1乗は2を1回掛けること。

じゃあ2の0乗は2を1回も掛けないから0?

0乗とは「1に何も掛けない」こと!

2の3乗は1×2×2×2と見れる。
2の2乗は1×2×2と見れる。
2の1乗は1×2と見れる。

よって、2の0乗は1であるとするのが合理的だ。

だから0乗は1になる

今の話を2に限定する必要はない。
先ほどの理屈で行けば、1の0乗も-1の0乗も√2の0乗もみんな1だ。
もちろん、0の0乗だって1として問題ないはず。

異議あり?!

ところが、話はこれで終わらない。

0の0乗は0?

0の3乗は0である。
0の2乗も0である。
0の1乗も0である。

それなのに、どうして0乗のときだけ1なのか。

そもそも定義できない?

xのx乗でxを0に近づけると1になる。
高校数学の記号を使えばlim[x→0]x^x=1だ。
ところが先ほどの議論から
lim[x→0]x^0=1(x≠0)
lim[y→0]0^y=0(y≠0)
である。

つまりx^yは原点で連続ではない。
すなわち、lim[x,y→0]x^yが存在しないのだ!

圧倒的多数を占める「定義不能」派

0の0乗が通常定義されないのは、2変数関数 x^y が、原点 (0, 0) において値をどのように定義しても連続にならないことが理由の一つである。

整数論を学んだ人も…

早稲田大学大学院で整数論を専攻した三村彰裕さんも「0の0乗は定義不能」としている。

解析学においても実数は実数体なので、むろん0の0乗は定義されていない。しかし極限の略記で0^0と記載することがある。極限について忘れた方は0÷0の記事の該当箇所を再度確認してほしい。

多数派だから正しい?

ここまで大勢の人が「定義不能」とコメントしている以上、0の0乗が定義不能であることに疑いの余地はないのだろうか?
確かにx^yが原点で不連続であることは動かしようのない事実だけど…

連続じゃないとなんなの?

でも、「x^yが原点で不連続」だから「x^yの原点での値は定義できない」っておかしいのでは?
「原点で不連続ならば原点での値は定義されない」の対偶を取ると「原点で値が定義されていれば原点で連続」となる。

本当にそうなのか?

反例

左の関数は原点で不連続(x=ay^2を代入するとa/(a^2+1)になる)であるが、原点での値は定義されている。

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