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【神秘】数学美 フィボナッチ数列

「研究とは神々のボードゲームを観戦する行為に似ている」

更新日: 2018年05月27日

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フィボナッチ数列

フィボナッチ数(フィボナッチすう、英: Fibonacci number)は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ(ピサのレオナルド)にちなんで名付けられた数である。

レオナルド=フィボナッチ 1170年頃 - 1250年頃)は、中世で最も才能があったと評価されるイタリアの数学者。 本名はレオナルド・ダ・ピサ(ピサのレオナルド)という。フィボナッチは「ボナッチの息子」を意味する愛称だが、19世紀の数学史家リブリが誤って作った名前でもある。
フィボナッチは、近代では主に次のような業績で知られている。
13世紀初頭に、『算盤の書』の出版を通じてアラビア数字のシステムをヨーロッパに導入した。
自身で発見したわけではないが、『算盤の書』の中で例として紹介したことで、「フィボナッチ数列」に名前を残した。

1202年にフィボナッチが発行した『算盤の書』(Liber Abaci) に記載されたことで「フィボナッチ数」と呼ばれているが、それ以前にもインドの音楽家であるヘマチャンドラ (Hemachandra) が和音の研究により発見し、書物に記したことが判明している。

概要

数列はどのような規則にしたがって数がならんでいるでしょう。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,・・・・・・

わかりましたか?

はじめの2つの1を除いたこの数列のそれぞれの数は,その1 つ前の数と2 つ前の数との和になっています。 2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,・・・・・・

「フィボナッチ」は12~13世紀に実在したイタリアの数学者のこと。数列は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657... となり、どの項も、その前の2つの項の和となる。「フィボナッチ数列」は自然界に数多く存在し、例として「花の花弁の枚数が3枚、5枚、8枚、13枚のものが多い」・「ひまわりの種は螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・と並ぶ。」などが挙げられる。

n 番目のフィボナッチ数を Fn で表すと、Fn は再帰的に
F0 = 0,
F1 = 1,
Fn + 2 = Fn + Fn + 1 (n ≧ 0)
で定義される。これは、2つの初期条件を持つ漸化式である。
この数列 (Fn)はフィボナッチ数列(フィボナッチすうれつ、Fibonacci sequence)と呼ばれ、
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …(オンライン整数列大辞典の数列 A45)
と続く。最初の二項は 0, 1 であり、以後どの項もその直前の2つの項の和となっている。

この数列を生んだきっかけとなった問題が、前述した「ウサギの問題」です。これはウサギが増えてゆくモデルを基にしたもので、「出生して間もないウサギが、生後2ヶ月目から1ヶ月あたり1組(1匹ではない)の “つがい” を産むとします。全てのウサギがこの法則に従い、死ぬことはないと仮定した場合、1年後にはウサギは何組まで増えるか?」というものです。
文章で答えを表すと、0ヶ月目と1ヶ月目は1組のままですが、2ヶ月目に1組産むので合計2組になります。3ヶ月目に入り、最初のつがいがさらに1組産みますが、先月産まれたばかりのつがいはまだ生後1ヶ月目なので産めません。従って、合計数は3組です。これをこのまま12ヶ月目まで続けていくと最終的に合計233組のウサギが誕生することになります。

数学、特に複素力学系に於けるマンデルブロ集合(マンデルブロしゅうごう、英: Mandelbrot set )は、 充填ジュリア集合に対する指標として提唱された集合である。数学者ブノワ・マンデルブロの名に因む。

植物にかかったフィボナッチの魔法

このオーラ全開の野菜、なんだか知ってますか。
そう、最近デパートなんかではよく見るようになったロマネスコというカリフラワーの仲間である。
一説によると、悪魔の野菜とか、神が人間を試すために作った野菜とか言われているらしい。
なんと言っても凄いのは、フラクタル構造がめちゃめちゃはっきり見えること。
まるでマンデルブロ集合みたいだ。

ね、似てるでしょう。フラクタルがこんなにはっきり見える構造物は、他には無いんじゃないかな。
この植物が面白いのは、それだけでは無い。
実の出っ張った部分をつなげていくと、らせん構造がくっきり見えてくるでしょう?
そのらせんの本数を数えてみよう。

右向きのらせんと左向きのらせん、を数えて行くと・・・8、13である。
この数は、神秘の数列フィボナッチの要素なのだ

フィボナッチと金融

この0.618という数字こそがフィボナッチ・レシオの基本なのです。
この比率は自然界の法則の1つとされ、「最も美しいもの」の比率とされています。
例えば、ピラミッドやパルテノンとかいった宮殿の建築をはじめミロのヴィーナスといった芸術作品にも使われています。

ミロのヴィーナスは身長を1とするとお臍の位置が下から0.618のところに位置しています。身近なところでは名刺のサイズ(縦横)、人間の頭のつむじといった例も挙げられます。
つまり、私たちが違和感無く受け入れている美しい形はこの比率で出来上がっているものが多いのです。

マーケットでこの比率が使われる理由としては、株価というものは森羅万象あらゆるものを織り込むものといわれ、そのすべてを織り込むものであれば株価の動きもこの自然界の美しい形、つまりはフィボナッチ・レシオで表すことができるのではないか、ということが考えられます。また、エリオット波動といわれるマーケットで使われているリズムがあるのですが、このリズムの拡大、縮小にこのフィボナッチ・レシオが当てはまったりしている点を挙げることができます。

エリオット波動理論(えりおっとはどうりろん)とは、市場は5つの上昇波動と3つの下降波動によるパターンを連続させており、この波動の上下により相場のサイクルが作られると言うトレンド系チャートの一つです。エリオット波動理論においては、フィボナッチ数列(黄金比)という考え方が用いられており天井や底の間の時間がそれぞれの波動においてフィボナッチ数列の数値となるとされています。

有名な建築
パルテノン神殿
ピラミッド
凱旋門
サグラダ・ファミリア大聖堂
ニューヨークの国連ビル
竜安寺の石庭
金閣寺
唐招提寺金堂。
その他、沢山の建築物にこの黄金比が利用されています。
美術
ミロのヴィーナス
モナ・リザ、最後の晩餐、ウィトルウィウス的人体図、その他様々(レオナルド・ダ・ヴィンチ)
美しき女庭師【聖母子と幼児聖ヨハネ】(ラファエロ)
レカミエ夫人(ジャック・ルイダヴィド)
富嶽三十六景 神奈川沖浪裏(葛飾北斎)
その他沢山の作品に黄金比が利用されています。特にレオナルド・ダ・ヴィンチは黄金比にこだわっています。
自然界
巻貝の螺旋
波の曲線 木の枝の伸び方
植物(例)ヒマワリ、松ぼっくり、パイナップルの鱗片、植物の葉の付き方、枝の構成等、
昆虫の体の分節
星雲
その他自然界の多くの物に当てはまります。螺旋状に付いている種、葉等よく見るとフィボナッチ数で構成されています。

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